ユーザーズガイド PALISADE EVOLVER 5.5

[. . . ] ユーザー ガイド Evolver 遺伝的アルゴリズムを使った Microsoft Excel 解決ツール アドイン バージョン 5. 5 2010 年 1 月 Palisade Corporation 798 Cascadilla St. Ithaca, NY 14850 USA +1-607-277-8000 +1-607-277-8001 (fax) http://www. palisade. com (Web サイト) sales@palisade. com (電子メール) 著作権表記 Copyright © 2010, Palisade Corporation. 商標について Microsoft、Excel、Windows は Microsoft Corporation の登録商標です。 IBM は International Business Machines, Inc. の登録商標です。 Palisade、Evolver、TopRank、BestFit、RISKview は Palisade Corporation の登録商標 です。 RISK は Tonka Corporation の一部である Parker Brothers の商標であり、商標保有者 の許可を元に使用されています。 目次 第 1 章: はじめに 1 はじめに . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 インストール方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [. . . ] 目標となるターゲット セルを示します。 各例には、ターゲット セル、調整可能セル、解法、制限など、すべ ての Evolver 設定がすでに指定されています。最適化を行う前に、 これらの設定内容を確認することをお勧めします。数式を確認したり、 さまざまな設定を試すことで、Evolver の使い方がよくわかるように なります。また、モデルのデータ例を独自のユーザー データに置き 換えることもできます。サンプル シートを変更したりカスタマイズ する場合には、ファイルを別名で保存して、オリジナルのサンプルを 維持しておくことをお勧めします。 第 4 章: 実用例 43 44 広告ミックス 広告エージェンシーが、対象視聴者の数を最大限にできるように PR 予算を配分するための一番効率的な方法を見つけようとしています。 ただし予算を超過することはできず、テレビの宣伝費がラジオの宣伝 費を下回ることができないという制限が課されます。 サンプル ファイル: ゴール: Advertising Selection. xls 広告費用を枠内に抑えながらさまざまな価格割引の ある各メディアに配分する。アピールできる視聴者 数を最大限にする。 予算 追加の制限が課される予算の問題。 解法: 類似問題: モデルの仕組み まず、Evolver に対して変数の処理方法を指示する解法を選択する必 要があります。各解法の説明は「第 5 章: Evolver リファレンス ガ イド」を参照してください。 第 4 章: 実用例 45 これは基本的には予算タイプの問題に、テレビの宣伝コストがラジオ の宣伝コストを上回らなければならないという制限が追加されたもの です。 解決方法 Evolver で調整する変数はセル範囲 C5:C9 に入っています。ここで は Evolver に対して「予算」解法を使ってこれらの変数を調整し、 各変数を独立値として扱うように指示します。合計視聴者数はセル G13 で SUM 関数により計算されます。Evolver にはこのセルを最大 化するよう指定します。ハード制限により、テレビの広告費がラジオ の広告費より大きくなるよう指定します。 46 広告ミックス アルファベット順の並べ替え この例では Evolver を使って 7 つの名前のリストをアルファベット 順に並べ替えます。これは単純な例ですが、Evolver では各データが 独立した複雑な並べ替えを処理したり、モデル内のその他の情報に基 づいて名前に重み付けをして並べ替えを処理することもできます。 サンプル ファイル: ゴール: 解法: 類似問題: Alphabetize. xls 名前のリストをアルファベット順に並べ替える。 順序 Excel では処理できないあらゆる並べ替え問題。 モデルの仕組み 「Alphabetize. xls」ファイルは Evolver の並べ替え機能を示す、ご くシンプルなモデルです。B 列に 7 人の人物のファースト ネームが 入っていて、A 列には各人に対応する ID 番号が含まれています。D 列では Excel の VLOOKUP 関数を使用して C 列で選択された番号に 対応する名前を求めます。セル範囲 E4:E9 はシンプルなペナルティ 関数を使用して、それより前の名前が後ろの名前の後に並べられるた びに 1 の値を割り当てています。ターゲット セルの E11 には、こ れらのエラーの合計値が含まれています。 第 4 章: 実用例 47 解決方法 このモデルで調整する変数は、C 列 (C3:C9) に入っています。ここ では「順序」解法を使ってセル範囲 C3:C9 の値を調整するよう指定 します。「順序」解法は Evolver に対して、選択値の順序を入れ替 えて、新しい値を試行する代わりに変数のさまざまな組み合わせを試 行するように指示します。セル E11 のエラー合計が 0 に最も近くな る値を見つけるよう指示します。このターゲット セルが 0 の場合、 すべての名前の順序が正しいことを示します。 [Evolver - 最適化設定] ダイアログで停止条件を一切選択しないの で、Evolver ツールバーの [停止] ボタンをクリックして手動で停止 しない限りは Evolver が処理を続行します。ただしこのモデルでは 「最近似値」オプションを選択してあるので、Evolver はこの値が 0 に最も近くなる解を見つけた時点で、自動的に処理を停止します。 最適な個体群サイズを選択するための絶対の規則はないため、個体群 のサイズを小さく設定しています。これは、可能な解の合計数が少な い問題の場合には小さな個体群サイズでも十分であり、パフォーマン スの優れた解の交差に作業を集中しやすくなるためです。この問題で は 7 つの名前の可能な順序は 5, 040 種類しか存在しません。 48 アルファベット順の並べ替え タスクの割り当て この例はリソースの割り当てに関するごく一般的な問題を表していま す。あるマネージャが 16 のタスクに 16 名の従業員をそれぞれ割り 当てようとしています。各従業員の各タスクを遂行する能力は 1 ～ 10 (1= 遂行不可能、10= 最適任) のスケールにより格付けされてい ます。ここでは各従業員をどのタスクに割り当てれば全体的な生産性 を最大限に伸ばすことができるかを判断することが課題となります。 サンプル ファイル: ゴール: 解法: 類似問題: Assignment of Tasks. xls 全体の生産性を最大化できるように 16 名の従業 員を 16 のタスクに割り当てる。 順序 割り当ての問題、大半の従業員にとって都合の良 い会議スケジュールの設定、一連の作業に最適な 機械の選択問題。 第 4 章: 実用例 49 このモデルは 16×16 のグリッド (セル範囲 B4:Q19) で構成されて いて、各従業員の各タスクへの適格度が指定されています。グリッド の右にある選択されたタスクの列 (S 列) では、各従業員をいずれか のタスクに任意に割り当てています。その次の列 (U 列) ではどのタ スクが割り当てられているかをチェックし、各従業員のそのタスクへ の適格度が入力されます。個々の適格度をすべて加算した合計した値 が、解全体の合計スコア (セル U21) となります。 モデルの仕組み 各タスクに割り当てる従業員は 1 名だけなので、タスク番号は重複 が不可能で 1 度しか使用できません。各従業員のタスク適格度は INDEX() 関数を使用して U 列に記録されます。これらのスコアがセ ル U21 で加算され、特定の割り当てのセットの合計スコアが求めら れます。 Evolver では S 列にある選択されたタスクの変数 (S4:S19) を調整 します。ここでは「順序」解法を使ってセルの値を調整するよう指定 します。この解法ではセルの既存値を入れ替えるので、最適化を開始 する前に各値が 1 度だけ使われていることを確認する必要がありま す。Evolver でターゲット セル U21 の値を最大化するよう指定しま す。このセルの値が大きいほど割り当て全体の生産性が向上します。 解決方法 50 タスクの割り当て ベーカリー この例は製造業によく見られる意思決定問題を表しています。製品の 種類が多くない場合でも、各製品の適正な生産数量を判断するのは困 難を極めます。ここではベーカリー経営者が、合計利益を最大化する ために各種類のパンの生産ケース数を判断しようとしています。従業 員の労働時間合計数や各製品の適切な比率などの制限についても以下 のように考慮する必要があります。(注意: このモデルについては 「第 3 章: Evolver ステップバイステップ」で説明済みです。) サンプル ファイル: ゴール: 解法: 類似問題: Bakery. xls 必要な生産量をすべて満たして利益を最大限にす るための各種類のパンの最適な生産量を求める。 レシピ ポートフォリオ開発、製造計画。 第 4 章: 実用例 51 モデルの仕組み この問題では表の一番上にある 4 行目に生産する各パン製品の数量 が入っています。各変数の値 (セル B4:G4) を調整すると、モデルに よって必要な労働時間とコストおよび、その生産量から得られる利益 が計算されます。利益 (セル範囲 B11:G11) の合計値が含まれている セル I11 が、最大化するターゲット セルとなります。 このモデルには 3 つの制限があります。これらはすべてハード制限 として設定されています。そのうち 1 つはシンプルな値の範囲形式 の制限で、あとの 2 つは Excel 数式を使った入力されています。 解決方法 Evolver はセル I11 (合計利益) の値が最大になるようなセル範囲 B4:G4 (生産量) の値を見つける必要があります。ここでは各値がほ かの値に依存しないので、「レシピ」解法を使用します。セル C4、 D4、および I8 の制限を満たすように指定します。 52 ベーカリー 予算の配分 ここでは上級管理者が、利益を最大限にするために最も効果的な各部 署への資金の配分方法を見つけようとしている場合の例を見てみます。 以下に、この企業のモデルと向こう 1 年間の予想利益を示します。 このモデルでは、年度予算に基づいて広告活動の売上げへの影響など について推測することにより、来年度の利益を予想しています。この モデルでは内容が簡素化されていますが、あらゆるケースをモデル化 し、Evolver で入力を提供して最善の出力を見つけるための方法を示 しています。 サンプル ファイル: ゴール: 解法: 類似問題: Budget Allocation. xls 来年度の利益を最大化できるような方法で、5 つ の部署に年度予算を配分する。 予算 限られたリソース (労力、資金、ガソリン、時間 など) を、さまざまな方法や効率でこれを消費す るエンティティ間に配分する問題。 第 4 章: 実用例 53 モデルの仕組み 「Budget Allocation. xls」ファイルは、企業の予算が将来の売上げ と利益にもたらす影響をモデル化しています。セル範囲 C4:C8 (変 数) には、5 つの部署それぞれに配分する金額が含まれています。こ の合計値がセル C10 で、この企業の予算総額を示します。この予算 は企業により設定されており、変更することはできません。 セル範囲 F6:F10 では、広告およびマーケティング予算に基づいて、 企業の製品に対する来年度の需要を計算しています。実際の売上げは、 計算された需要と供給のうち小さい方の値になります。需要は、製造 部と業務部に割り当てられた資金に依存しています。 解決方法 「予算」解法を使用してセル範囲 C4:C8 の値を調整することで、セ ル I16 の利益を最大限にします。各部署の予算の各調整可能セルに それぞれ個別の範囲を設定し、Evolver が負の値や、その部署の予算 に解として不適切な値 (広告に全額を割り当て、製造予算を 0 にす るなど) を使わないようにします。 「予算」解法は、選択された変数の適切な「ミックス」を見つけよう とする点で、「レシピ」解法に似ています。ただし、予算解法を用い る場合、すべての変数の和が Evolver での最適化をはじめる前の値 と等しくならなければならないという制限が追加されます。 54 予算の配分 化学平衡 いくつかの初期条件を前提としてある結果を生み出すようなモデルを 構築できる過程であれば、Evolver を使って最適化を行うことが可能 です。この例では Evolver を使用して、化学反応が平衡状態に至っ た後の自由エネルギーが最小になるような、さまざまな化学物質 (生 成物と反応物) のレベルを見つけます。複雑な化学過程では化合物の 濃度が一定して平衡状態に至るまでの間、成分 (試薬) と生成物が相 互に反応し合います。平衡状態に至ると、平衡化学物の反応物と生成 物の比率は例えば 5% と 95% というように一定します。 サンプル ファイル: ゴール: Chemical Equilibrium. xls 反応環境の自由エネルギーを計算し、ソフト制限 を満たすような物質の量を見つける (一部の化学 物質量はほかの物質の量に比例)。 レシピ 最も安定した市場均衡が得られる条件を判断する 問題。 解法: 類似問題: 第 4 章: 実用例 55 モデルの仕組み この問題のセル範囲 B4:B13 にある変数は、混合する化学物質量を示 します。セル B15 で計算される合計量は、ペナルティに従って特定 の範囲内に収める必要があります。 F20:F22 の制限はソフト制限です。ソフト制限では Evolver に有効 な解のみを受け入れるよう強制するのではなく、特定の化学物質のほ かの物質に対する比率が所定の範囲内にない場合にそのペナルティを 計算します。これらのソフト制限は、ワークシート モデルに直接指 定されているペナルティ関数を使用します。ペナルティはセル F17 の自由エネルギーの合計値に加算されます。Evolver はターゲットの 値を最小化しようとするので、結果的にはペナルティの課されていな い解を探すことになります。 解決方法 56 セル範囲 B4:B13 にレシピ解法を使用します。セル F17 を最小化し ます。 化学平衡 授業のスケジュール 大学で 25 のクラスを 6 つの時間枠に割り当てる必要があります。 各クラスの時間はすべて 1 時間です。このような問題は通常「グル ーピング」解法を用いて解決します。ただしこの例では、クラスをス ケジュールする際にいくつもの制限が適用されます。例えば、医学部 の学生は同じ学期に生物学と化学の両方を取る必要があるため、これ らのクラスは同じ時間枠に設定できません。ここではこのような制限 を満たすため、「スケジュール」解法を使用します。「スケジュー ル」解法は「グルーピング」解法に似ていますが、特定のタスクをほ かのタスクの前、後、または最中に行う (あるいは行わない) 必要が あるという制限が課される点で異なります。 サンプル ファイル: ゴール: Class Scheduler. xls 25 のクラスを 6 つの時間枠に割り当て、クラス がいっぱいで受講できない学生の数を最小限に抑 える。特定のクラスの時間枠に関する一連の制限 を満たす。 スケジュール すべてのタスクの所要時間が同じで、事前に決め られた任意数の時間枠に割り当てることのでき る、すべてのスケジュール問題。特定の項目を割 り当てられるグループについて制限がある、すべ てのグループ化問題。 解法: 類似問題: 第 4 章: 実用例 57 モデルの仕組み 「Class Scheduler. xls」ファイルには、数々の制限を満たす必要の ある、一般的なスケジュール問題のモデルが含まれています。セル範 囲 C5:C29 は、25 のクラスを 6 つの時間枠に割り当てています。使 える講義室は 5 つだけなので、1 つの時間枠に 6 つ以上のクラスを 割り当ててしまうと、実施できないクラスが出てきます。 セル範囲 K17:M25 には制限が含まれており、制限の説明は各項目の 左側に書かれています。制限には数値コードか、テキストの説明のい ずれかを使用できます。スケジュール問題の制限コードのリストにつ いては、「第 5 章: Evolver リファレンス ガイド」の「解法」セク ションを参照してください。 起こりうる各スケジュールは、a) 実施できないクラス数および、b) 講義室が満席でクラスに参加できない学生の数、の両方を計算するこ とにより評価されます。上記の制限 b) により、Evolver が学生数の 多いクラスをすべて同時にスケジュールしないようにします。1 つの 時間枠に割り当てられた大人数のクラスが 1 つか 2 つに限られてい れば、大きい講義室を使うことができます。 セル範囲 I8:N8 は、Excel 関数の DCOUNT を使用して、各時間枠に 割り当てられたクラス数を数えます。セル範囲 I9:N9 のすぐ下の部 分では、その時間枠で講義室が割り当てられなかったクラスの数を計 算しています。講義室がないクラスの合計数はセル K10 で求められ ます。 特定のクラスで必要な席数が、使用可能な席数を超えた場合、セル範 囲 I12:N12 でその超過数が計算され、K13 で席のない学生数が計算 されます。セル F6 では、席のない学生の総数が平均のクラス サイ ズに追加され、これに講義室のないクラスの数を掛け合わせています。 これにより、すべてのペナルティを 1 つのセルに組み合わせて、こ のセルの値が低いほど優れたスケジュールであることがわかるように します。 解決方法 セル範囲 C5:C29 を調整することにより F6 のペナルティ値を最小化 します。「スケジュール」解法を使用します。この解法を選択すると、 ダイアログ ボックス下部の [最適化のパラメータ] セクションに、 いくつかの関連オプションが表示されます。時間枠 (タイム ブロッ ク) の数を 6 に設定し、制限セルを K17:M25 に設定します。 58 授業のスケジュール コードのセグメント化 Windows プログラマがプログラムをいくつかのコード セグメントに 分け、使用中のコード セグメントのみをメモリに保存することで Windows のメモリ消費を効率化したいと考えています。 これは類似項目をいくつかのグループに分類する問題の例です。各項 目は同じグループ内のほかの項目とは簡単に相互作用できますが、異 なるグループにある項目同士の相互作用は難しくなります。各項目が ほかの全項目と直接作用するのを妨げるような自然な境界が存在する 場合 (例えばすべてのコンピュータ ユーザーが 1 台のプリンタに直 接接続したい場合など)、これらの項目をグループに分ける必要があ ります。効率的なグルーピングによって、全体の生産性を大幅に向上 させることができます。 サンプル ファイル: ゴール: Code Segmenter. xls プログラムの処理速度が最短になるような方法 でプログラム ルーチンを 8 つのコード セグメ ントに分ける。 グルーピング グルー プ間 の 通信コ スト が 最小に なる よ うな LAN 上のワークステーションのクラスタ化、ま たはマイクロチップ回路の区分。 解法: 類似問題: 第 4 章: 実用例 59 モデルの仕組み Windows プログラマは、プログラムの効率を上げるためにプログラム をいくつかのセグメントに分けることがよくあります。Windows では 別のセグメントのルーチンを実行する必要がある場合、まず呼び出し 側のセグメントを破棄して、呼び出されたセグメントをディスクから 読み込みます。2 Mb のプログラムをそれぞれが 20 Kb の 80 セグメ ントに分けた場合、そのプログラムを実行するには 20 Kb のメモリ が必要となります。ただし、プログラムのパフォーマンスを維持する ためにセグメントの分け方を慎重に判断する必要があります。別のセ グメントにある関数を呼び出すと、同じセグメント内にある関数を呼 び出すよりも長い処理時間がかかります。別のセグメント間との関数 呼び出しを最小限に抑える問題のことを、コードのセグメント化問題 と呼びます。 アプリケーションの一部を最適化した結果、全体のパフォーマンスが 低下してしまう可能性もあるので、ここでは Evolver を使って大局 的な最適化を行うことにします。 「Code Segmenter. xls」サンプル ファイルでは、すでにセグメント 化されたコンパイル済みのアプリケーションを前提としています。こ のアプリケーションをユーザーが使用する場合と同じように実行し、 パフォーマンス追跡ルーチンによって各関数がほかの全関数を呼び出 す回数を追跡しています。この追跡結果はアプリケーションの一般的 な使用における各呼び出しの性質を表しており、これに基づいてさま ざまなセグメント化によって得られるアプリケーションの処理速度に ついての予測を立てることができます。 このワークシートは「SegCost」というカスタム関数を使用していま す。SegCost は、一般的な使用統計を取得するのと同じ方法でユーザ ーがプログラムを実行する場合の所要時間を計算します。所要時間は セグメント内呼び出しとセグメント間呼び出しの数をカウントし、こ れに各種類の呼び出しのコストを掛け合わせることで求められます。 ここでは 386 コンピュータを前提とし、セグメント内呼び出し (near call) にかかる時間を 7 クロックサイクル、セグメント間 (far call) の所要時間は 34 サイクルとして計算しています。 60 コードのセグメント化 SegCost 関数は Excel VBA マクロで次のように定義されています。 Function segCost(segs, calls, inP, outP) As Double Dim inCost#, outCost#, total#, temp#, tempPtr# Dim i%, j%, wide%, funcNumber%, ThisSeg%, OtherSeg% Dim NumCalls%, NumInCall%, NumOutCall%, SegOrder$, CallOrder$ SegOrder = Application. Names("segs"). RefersTo CallOrder = Application. Names("calls"). RefersTo NumInCall = 0 NumOutCall = 0 inCost = Range("k2") outCost = Range("k3") total = 0 wide = Range(CallOrder). Columns. Count For i = 1 To Range(SegOrder). Rows. Count ThisSeg = Range(SegOrder). Rows(i) For j = 1 To wide temp = Range(CallOrder). Rows(i). Columns(j) If temp <> 0 Then funcNumber = Int(temp) OtherSeg = Range(SegOrder). Rows(funcNumber + 1) NumCalls = 10000 * (temp - funcNumber) If ThisSeg = OtherSeg Then temp = NumCalls * inCost NumInCall = NumInCall + 1 Else temp = NumCalls * outCost NumOutCall = NumOutCall + 1 End If total = total + temp End If Next Next segCost = total End Function サンプル アプリケーションには 80 の関数が使われています。各関 数がほかの関数を呼び出す回数は「呼び出し」のセル範囲 (C5:I104) に保存されます。この例では 80 × 80 の行列を作成して呼び出しパ ターンを表すことも可能です。ただし n × n 式の表現は、Excel で は列数が 256 に制限されること、また必要なメモリ容量が増大する ことから、関数が 256 以上ある場合には使用できません。 第 4 章: 実用例 61 したがって、ここでは短縮表記を使って呼び出しパターンを表します。 まず、すべての関数が呼び出すほかの関数の数が特定の範囲を超える ことはないと仮定します。サンプル ファイルではこの上限を 7 に設 定しているために呼び出し範囲が 7 列になっていますが、この限度 は任意に設定できます。さらに、各関数がほかの関数から呼び出され る回数についても 9, 999 回を超えることはないと仮定します。 では、関数 1 についてセル C5 から順に見てみることにします。関 数 1 は関数 3、9、81、41 をそれぞれ呼び出します。呼び出しの最 初の行 C5:I5 には、呼び出される各関数につき 1 つの実数が含まれ ています (例: 3. 0023)。この整数部分 (3) は呼び出される関数を表 し、小数部分に 10, 000 を掛けた値 (. 0023 x 10, 000 = 23) はアプ リケーションの標準的な使用において関数 1 が関数 3 を呼び出した 回数を表しています。したがって 9. 1117 という値は、この関数が関 数 9 を 1, 117 回呼び出したことを示します。この短縮形式によりメ モリを節約し、Excel で使用できる列数を最大限に活用することがで きます。 セル範囲 A5:A104 (セグメントのセル範囲) には、各関数が割り当て られたセグメントの番号が含まれています。セル K4 で「SegCost」 を実行して現在のセグメント化方法の全体的なパフォーマンスが計算 されます。 解決方法 ここではセル範囲 A5:A104 を調整して、セル K4 の値を最小化しま す。解法は「グルーピング」を使用します。「グルーピング」解法は、 Evolver に対して変数を x 個のグループに分けるよう指定します。x は、最適化の開始時に調整可能セルにある異なる値の数です。 62 コードのセグメント化 ノースダコタ: 制限付きの経路判断 ある不動産業者がノースダコタ州の物件をすべて見て回りたいと考え ています。その際、一部の物件をほかの物件の前に訪れる必要があり ます。これは、いくつもの都市を訪れる際に各都市を 1 度ずつ訪れ るための最短経路を見つけるという点では典型的な巡回セールスマン 問題と似ています。ただしここでは、特定の都市をほかの都市の前に 訪れる必要がある (例えば 都市 2 は都市 4 の後に訪れる必要があ るなど) という追加の制限が課されます。したがって、「順序」解法 の代わりに「プロジェクト」解法を使います。 プロジェクトでは、あるタスクをほかのタスクの前に完了するという 必要条件を満たしながら、一連のタスクの順序を決定します。カスタ ム関数と「プロジェクト」解法を使用して、完了期日やリソース使用 率などの任意数の条件の組み合わせに基づいてプロジェクトの最適な 遂行順序を求めることができます。 サンプル ファイル: ゴール: Dakota. xls ノースダコタ州 41 都市を巡回する経路を計画 し、特定都市をほかの都市の前に訪れる必要条 件を満たす最短経路を見つける。 プロジェクト リソース使用率が最適になるようなプロジェク トのスケジュール調整。一部の作業をほかより 先に完了し、合計労働時間を削減するための機 械工場の作業フロー管理。 解法: 類似問題: 第 4 章: 実用例 63 モデルの仕組み セル範囲 F3:F43 には各都市を訪れる順序が含まれています。順序と x, y 座標による各都市のロケーション (セル範囲 C3:D43) に基づい て、セル H10 で経路の合計距離が求められます。セル H10 で合計距 離を迅速に計算するために「BigRouteLength」というカスタム関数を 使用しています。 セル範囲 J3:L43 には順序の制限が指定されています。この表は、ど の都市の前にどの都市を訪れる必要があるかを示したものです。ここ では 8 つの都市 (1、2、3、4、5、7、11、13) について、その前に 訪れる必要のある都市が指定されています。 解決方法 セル範囲 F3:F43 を調整することにより H10 の合計距離を最小化し ます。「プロジェクト」解法を使用し、J3:L43 にタスク順序を指定 します。タスクの順序は [調整可能セルのグループ設定] ダイアログ の [直前のタスク] フィールドで設定します。 64 ノースダコタ: 制限付きの経路判断 製作工場のスケジュール 金属加工工場が、さまざまな機械で処理される工程に分割できる一連 のジョブをスケジュールする最適な方法を探しています。各ジョブは 5 つのタスクから構成され、これらのタスクは決まった順序で行う必 要があります。各タスクは特定の機械で処理する必要があり、それぞ れの所要時間も決まっています。機械は 5 台あり、ジョブの数も 5 つです。 シート上部の「スケジュールの図化」ボタンをクリックすると、棒グ ラフが再描画されて各ジョブ タスクの実行スケジュールが表示され ます。 サンプル ファイル: ゴール: Job Shop Scheduling. xls すべてのジョブの合計所要時間が最小限になる ような方法で、ジョブの各工程 (タスク) を機 械に割り当てる。 順序 スケジュールやプロジェクト管理の問題。 解法: 類似問題: 第 4 章: 実用例 65 モデルの仕組み セル D5 は、最初のタスクの開始から最後のタスクが完了するまでの 経過時間を計算します。ここではこの合計時間を最小限にする必要が あります。セル範囲 G11:G35 には、最適な割り当て順序を見つける ために入れ替えることのできる変数 (タスク) が含まれています。ワ ークシートの方程式により、各タスクを適切な機械で行えるようにな るまでの時間が計算されます。 一連の調整可能セル G11:G35 を選択し、順序解法を選択します。セ ル D5 を最小化します。 解決方法 66 製作工場のスケジュール ラジオ塔の配置 ラジオ局が 12 の主要な町で構成される地域に放送塔を建設したいと 考えています。各町の人口はさまざまで、信号の届く範囲も各ラジオ 塔によって異なります。ここでは、塔の放送半径内に入る聴取者の数 が最大限になるような位置にラジオ塔を配置するのが目標です。 y 1 x 1 より複雑なロケーション判断の問題の例としては、複数の工場を a) ベンダーと顧客の両方に近い地域内に、b) 安価な空き地を利用して、 c) 技術訓練を受けた人材が多くいるような場所に配置する問題など があります。こうしたモデルには、ほかにも税制上の優遇措置などの 条件による影響も追加することができます。Evolver を使用して、 x, y 座標やときには x, y, z 座標で指定される領域内の最適なロケー ションを見つけ出すことができます。 サンプル ファイル: ゴール: Radio Tower Location. xls 放送範囲内の潜在的な聴取者数が最大になるよう に、ラジオ塔の最適な位置を x, y 座標値として 判断する。 レシピ 倉庫と店舗間で必要な出荷が最小限になるような 倉庫の場所の判断。住宅密度などの要素を考慮に 入れながら、限られた数の消防署で最大数の住人 をカバーできるような消防署の配置。 解法: 類似問題: 第 4 章: 実用例 67 モデルの仕組み 「Radio Tower Location. xls」ファイルのモデルでは、2 次元座標を 使って、3 つのラジオ塔の配置によって聴取範囲内に入る聴取者の数 を判断します。セル範囲 C6:D8 には 3 つのラジオ塔の x, y 座標が 含まれています。モデルの図には、Windows ペイント プログラムか ら貼り付けた人口密度のビットマップ画像 (緑色) と、自動再計算に よりラジオ塔の場所を表示する Excel の散布グラフが含まれていま す。 12 の 町 は そ れ ぞ れ 点 で 表 さ れ て い ま す 。 こ の Excel モ デ ル は K4:M15 で町とラジオ塔間の距離を計算し、各町が聴取範囲内にある か (○)、範囲外にあるか (×) を判断します。範囲内にあるすべて の町の人口合計 (これが最大化するターゲットです) は、セル O17 で計算されます。 解決方法 ラジオ塔の配置 (C6:D8) を調整することでセル O17 の聴取者数を最 大化します。「レシピ」解法を使用し、変数の範囲を 0 ～ 50 (当該 地域の限界) に設定します。 「レシピ」解法は、Evolver に対して変数の値を自由に調整するよう 指定します。パンを焼くためのレシピと同様に、最適な結果が得られ る材料 (x, y 座標値) の組み合わせを見つけることが目標です。 68 ラジオ塔の配置 ポートフォリオの分散 ある金融ブローカーが、それぞれ時価の異なる 80 銘柄の証券を抱え ています。このブローカーは、これら銘柄を 5 つのパッケージ (ポ ートフォリオ) にグループ化し、各パッケージの時価がなるべく均等 になるようにしたいと考えています。 これは、箱詰め問題と呼ばれる種類の問題です。箱詰め問題には、例 えば貨物船の積荷をなるべく均等な重さになるよう配分する場合など も該当します。船倉への穀物の積み込みなど、無数の小さなアイテム をいくつかのグループに分ける場合は、各グループがほぼ均等な重量 になるように配分を推測することができます。ただし、重量やサイズ のそれぞれ異なる数十個のパッケージをさまざまな組み合わせで積み 込んで、効率的な荷積みによりバランスを改善することも可能です。 サンプル ファイル: ゴール: 解法: 類似問題: Portfolio Balancing. xls 銘柄リストを時価総額がなるべく均等になるよ うな方法で 5 つのポートフォリオに分ける。 グルーピング チームごとの能力がほぼ均等になるようにチー ム分けをする。重量が均等に分散されるような 方法で貨物船の船倉にコンテナを積み込む。 第 4 章: 実用例 69 モデルの仕組み 「Portfolio Balancing. xls」ファイルは、一般的なグルーピングの 問題をモデル化したものです。A 列には特定の銘柄の ID 番号、B 列 には各銘柄の時価がドルで指定されています。C 列は各銘柄を 5 つ のポートフォリオのいずれかに割り当てています。グルーピングや箱 詰めの問題を設定してグルーピング解法を使用する場合、Evolver を 起動する前に、現在のシナリオで各グループ (1 ～ 5) が少なくとも 1 度は使われていることを確認する必要があります。 セル範囲 F6:F10 では 5 つのポートフォリオそれぞれの時価総額を 求めます。この計算には画面外のデータベース条件 (I 列) とセル範 囲 F6:F10 の DSUM() 式が使われます。例えば、セル F6 は、C 列で グループ 5 に割り当てられたすべての値 (B 列) の DSUM を計算し ます。 セル F12 は、STDEV() 関数を使ってポートフォリオ全体の時価の標 準偏差を計算します。これにより、各ポートフォリオの時価総額が互 いにどの程度近くなるかを推測できます。グラフには、各ポートフォ リオの合計額が示されています。参照ラインは、すべてが均等である 場合の金額、つまりゴールを表します。 解決方法 セル範囲 C5:C104 を調整することにより、セル F12 の値を最小化し ます。ここでは「グルーピング」解法を使用します。1、2、3、4、5 の各値が C 列に少なくとも 1 度は使われていることを確認します。 「グルーピング」解法は、Evolver に対して変数を x 個のグループ に分けるよう指定します。x は、最適化の開始時に調整可能セルにあ る異なる値の種類の数です。 70 ポートフォリオの分散 ポートフォリオの配分 ある若夫婦がそれぞれ異なる利率、予想成長率、リスクの伴うさまざ まなタイプの投資からなる資産を保有しています。この夫婦はいくつ かの数式によりさまざまな重み付けを行い、これら投資の特定の組み 合わせにより彼らのニーズがどの程度満たされるかを示すカスタムの 「スコア」を計算しました。 サンプル ファイル: ゴール: 解法: Portfolio Mix. xls リスクと収益の現在のニーズに基づいて、利益 を最大限に伸ばせる投資配分を見つける。 予算 第 4 章: 実用例 71 モデルの仕組み これは、投資収益と損失リスクの最適なバランスを見つけようとする、 典型的な金融モデルです。A 列にある各資産に対して C 列で重み付 けがされています。このモデルはポートフォリオ内の各資産の重みを 収益率に掛け合わせ、セル C18 で合計収益率を求めています。また、 セル C19 で計算される合計リスクがセル D19 にある許容リスクを超 えないようにする必要があります。 セル C22 の合計スコアは、合計収益率からペナルティ (リスクが許 容範囲を上回る場合) を差し引いた値です。このスコアを最大化しま す。 解決方法 72 ポートフォリオの配分 ラジオ送信機 あるラジオ局が、9 つの主要な町から構成される地域にある使用廃止 となった放送塔を 3 つ購入しました。このラジオ局は新しいラジオ 送信機を購入してこれらの放送塔に設置し、放送を再開したいと考え ています。 ただし予算が限られるため、9 つすべての町で受信できる範囲で送信 機のコストを最小限に抑えるのが目標です。ここでは送信機のコスト が信号強度に直接比例する線形の価格モデルを想定し、信号が最も弱 い放送機を探しますが、送信機の実際のタイプと価格を指定したルッ クアップ テーブルを簡単に作成することもできます。 サンプル ファイル: ゴール: Power Stations. xls 周辺 9 つの町で聴取できる範囲で、古いラジオ 塔に設置する最小 (安価) の放送機を見つけ る。 レシピ 一連の要素を、定義の明確な少数のセットによ りカバーする必要のある問題。 解法: 類似問題: 第 4 章: 実用例 73 モデルの仕組み これはラジオ塔の配置問題 (Radio Tower Location. xls) とよく似て いますが、塔の場所はすでに決まっており、セル範囲 E5:E7 にある 各塔の信号強度が調整可能な変数となります。3 つの塔のコストを合 計したセル E12 をターゲットとして最小化します。 セル範囲 K4:M12 で各町から塔までの距離を計算し、その町がいずれ かの送信機の受信エリアに入っている場合は N 列の値が TRUE にな ります。これらすべての制限が「全域聴取可能」という 1 つのハー ド制限によってチェックされます。この制限は AND($N$4:$N$12) と いう式で定義され、N 列の値がすべて TRUE の場合のみに TRUE を返 します。 解決方法 セル範囲 E5:E7 のラジオ塔放送範囲を調整することにより、必要な 信号強度 (セル E12) を最小化します。「レシピ」解法を使用し、変 数の範囲を 0 ～ 100 に設定します。Excel 式を使用して、上記のハ ード制限を 1 つ設定します。 74 ラジオ送信機 購入判断 複数の品目を組み合わせて注目する場合、数量割引があるためにコス ト効率を最小限にするにはどうしたらよいかを判断するのは困難です。 このモデルではシンプルな価格表に特殊な溶剤の数量割引価格が一覧 されています。少なくとも 155 リットルの溶剤を購入する必要があ ります。容器のサイズは小、中、大、特大の 4 種類です。 コストを最小化するには各サイズの容器をいくつずつ購入すればよい かを判断します。 サンプル ファイル: ゴール: 解法: 類似問題: Purchasing. xls 155 リットルの溶液を最も安価に購入する方法 を判断する。 レシピ 上記と逆に、注文数量が多いほどコストも安価 になるような価格表を作成する。 第 4 章: 実用例 75 モデルの仕組み 溶剤はそれぞれ 3、6、10、または 14 リットルの容器に入って販売 されています。セル範囲 D6:H9 はこれら各サイズの価格表です。セ ル範囲 H13:H16 は各サイズの購入数量を示します。K 列で各サイズ の合計金額を計算し、セル K18 に注文全体の合計金額が入っていま す。このモデルでは、必要な購入量 (セル I19) を 155 以上の値に 変更することができます。セル I18 には購入した合計量がリットル で示されており、このセルの値はセル I19 の必要量 (155) と等しい かそれ以上でなければなりません。ハード制限を 1 つ設定し、合計 購入量が必要条件を満たすように指定します。 必要量は 155 リットルなので、特大サイズを 11 個 (154 リットル) と小サイズを 1 個 (3 リットル) 購入すれば合計 157 リットルで必 要条件を満たすことができます。その場合、価格表によると合計額は $1, 200 です。しかし最適化を行うことにより、さらにコスト効率の 良いサイズの組み合わせを見つけることができます。 解決方法 セル範囲 H13:H16 の購入数量を調整することにより、セル K18 のコ ストを最小化します。「レシピ」解法を使用して値を調整し、変数の 範囲を 1 ～ 20 に設定します。容器の一部のみを購入することはで きないので、[調整可能セル] ダイアログの整数オプションをオンに して Evolver に整数のみを試行するよう指定します。155 リットル に満たない量を購入することもできないので、「I18>155」というハ ード制限を 1 つ設定します。 76 購入判断 巡回セールスマンの問題 セールスマンが担当地域の各都市を 1 度ずつ訪問する必要がありま す。すべての都市を最短距離で巡回するには、どの順序で移動すれば よいでしょうか？これは典型的な最適化問題ですが、都市の数が多く 50 を超えるような場合、この不確実要素に従来の手法で対処するこ とは非常に難しくなります。 これと類似した問題に、工場で行うタスクの最適な順序を見つけると いう問題が挙げられます。例えば、白い塗料の後で黒い塗料を塗布す る方が、その反対の順序で行うよりもずっと簡単な場合があります。 Evolver でこうしたタイプの問題を解決するには、「順序」解法が一 番適しています。 サンプル ファイル: ゴール: 解法: 類似問題: Salesman Problem. xls n 個の都市をそれぞれ 1 度ずつ訪問できる最 短経路を見つける。 順序 回路板の穴を最短時間で空ける方法を見つけ る。 第 4 章: 実用例 77 モデルの仕組み 「Salesman Problem. xls」ファイルは、都市間の距離をテーブルで調 べ、各都市への移動距離を計算します。A 列には特定の都市の ID 番 号が入っています。B 列では、ルックアップ関数を使ってこれらの番 号が表す都市名を求めます。都市 (とその番号) の表示順序は、訪問 順序を表します。例えば、セル A3 に 9 と入力した場合、最初にオ タワを訪れることになります。同様に、A4 に 6 (ハリファックス) が指定されている場合は、ハリファックスを 2 番目に訪問します。 都市間の移動距離は、C25 以降のテーブルに指定されています。この テーブルの移動距離は対称的です (つまり A から B への距離と、B から A への距離は同じです)。現実的なモデルの場合には、非対称の 走行距離を設定して、料金所、利用できる移動方法、風向き、道の傾 斜などのために、往復で移動時間が異なる点を考慮に入れることも可 能です。 次に、関数を使用してこれらの都市間の経路の距離を計算する必要が あります。経路の合計距離はセル G2 に保存されます。最適化する必 要があるのはこのセルです。この計算には RouteLength 関数を使い ます。これは Salesman Problem. xls に含まれている、カスタムの VBA 関数です。 解決方法 セル範囲 A3:A22 を調整することにより、セル G2 の値を最小化しま す。「順序」解法を使用します。また、最適化を始める前に、調整可 能セル (A3:A22) に 1 ～ 20 の値が入っていることを確かめます。 「順序」解法は、選択した変数を並べ替えて既存の変数のさまざまな 順列を試すよう、Evolver に指定します。 78 巡回セールスマンの問題 スペースシャトル スペースシャトル Evolver III 号の乗組員が、ロケット噴射の推力 と方向を求めて最少量の燃料で目的地に達する方法を判断しようとし ています。付近の太陽の重力によるスイングバイ効果を利用して燃料 を節約すると、さらに優れた解となります。 サンプル ファイル: ゴール: Space Navigator. xls 消費燃料が最小限になるような方法でスペース シャトルを目的地に到達させる。付近の惑星の 重力を利用する。 レシピ プロセス管理の問題。 解法: 類似問題: 第 4 章: 実用例 79 モデルの仕組み セル範囲 Q5:R15 には、10 ステップある各噴射の推力と方向値が入 っています。ここではセル Q16 を最小化します。この値は 10 のス テップで燃焼される燃料の合計です (Q4:Q13)。 ハード制限は、シャトルの最終位置が目的地から a) 10 水平単位以 内および、b) 10 垂直単位以内であることです。 解決方法 セル Q16 を最小化します。選択範囲 Q5:R13 に対してレシピ解法を 使用する調整可能セル グループを 1 つ作成します。「噴射サイズ」 セル (Q5:Q13) の値は 0 ～ 300、「方向変化」セル (R5:R13) は -3 ～ 3 でなければなりません。噴射の方向はラジアンを使って表され ます。1 ラジアンは約 57 度に相当します。 80 スペースシャトル 証券トレーダー S&P 500 のトレーダーが、従来のファンダメンタル分析に比べてテク ニカル分析の方がより正確な株式予測を行うことができ、いったんシ ステムを構築すれば最終的に時間を節約できると判断しました。一見 したところ取引判断を左右するルールが無限にあるように思えますが、 実際に相当な収入を生むことのできるルールはほんの僅かです。そこ でインテリジェントなコンピュータ検索を利用して、過去のケースに ついて、どのルールに従った場合に特定期間の利益が最大になったか を判断することにします。 サンプル ファイル: ゴール: 解法: 類似問題: Trader. xls 特定な期間に利益を最大化できるような 3 つの ルールを見つける。 レシピ 最良の結果につながる最適な平均移動値を見つ ける問題、ルールまたは条件を見つけようとす るすべての問題。 第 4 章: 実用例 81 モデルの仕組み このモデルではいくつかの調整可能セル グループを使って全体的な 問題を解決します。各取引日につき 3 つのルールを評価します。3 つすべてのルールが真である場合はコンピュータがその日に銘柄を購 入し、そうでない場合は売却します。(より現実的なトレーディング システムでは、購入と売却だけでなく持ち株をホールドすることもあ ります。) 各ルールはセル範囲 C5:E8 にある 4 つの数値のセットにより次のよ うに記述されます。1) ルールが参照するデータ ソース、2) データ 値が基準値を上回るべきか下回るべきか、3) ルールが真かどうかを 判断するための基準値、4) 値自体を検査するか、または前日の値ま たは前日以降の変化を検査するかを判断する修正値。 基準値の範囲は 0 ～ 1 で、データ ソースの範囲の割合を表します。 例えば出来高の範囲が 5, 000 ～ 10, 000 であり、基準値が 0. 0 の場 合は出来高 5, 000 に一致し、基準値が 1. 0 の場合は出来高 10, 000 に一致し、さらに基準値が 0. 5 の場合は出来高 7, 500 に一致します。 この方法によってルールが実際のデータ値には関係なく、すべてのデ ータ ソースを参照することができます。 解決方法 「レシピ」解法を使って調整可能セル グループを作成します。C5:E5、 C6:E6、C7:E7、および C8:E8 の各行は個別に作成し、各グループを 整数や範囲など独自のオプションに簡単に割り当てることができるよ うにします。各変数セットの設定は F5:F8 に指定されます。セル E10 を最大化します。このセルはこれらのルールを使って行われたト レーディングのシミュレーションを実行するマクロを呼び出します。 その結果、履歴データベースに含まれる各取引日のトレーディングの シミュレーション後の合計利益がセル E10 に返されます。 82 証券トレーダー 変圧器 定格容量 1080 VA、負荷損 28 ワット未満、表面放熱 0. 16 ワット /cm2 以下の二巻線変圧器を設計する際に、パフォーマンスの必要条 件を満たす範囲でコストを最小限にしたいとします。 サンプル ファイル: ゴール: 解法: 類似問題: Transformer. xls 変圧器の導入および運用コストを最小化する。 レシピ 回路の設計、橋の設計。 第 4 章: 実用例 83 モデルの仕組み 定格、負荷損失、および放熱に関する制限はソフト制限として設定し ます。ソフト制限を作成するには、必要条件を満たさない解や無効な 解にペナルティを適用します。指定の条件を満たさなければならない ハード制限と異なり、Evolver は無効な解でも試行できますが、これ らの解にはモデル内の違反を検査する関数によってペナルティが課さ れるため、ターゲット セルの値は有効な解に比べて低くなります。 したがって最終的には、進化を続ける可能な解の個体群からこれらの 解は破棄されます。 ソフト制限を使用したモデルでは、問題の制限がそれほど厳しくない 場合にはハード制限よりも優れた解が見つかることがあります。また、 ソフト制限の場合、制限に多少違反していても非常に優秀な解を Evolver が受け入れることができるので、すべての制限を満たすそれ ほど優れない解より望ましい結果を生み出す可能性があります。 解決方法 セル F11 とセル F12 で材料費 (導入費用) と運用費用 (電気料金 * 廃棄電気量) を計算します。これらに F18:F20 に設定されたペナル ティ関数の値を加味した、制限適用後の最終コストをセル F22 で求 めます。レシピ解法を使用してこのターゲット セルの値を最小化し ます。 84 変圧器 輸送費 ここでは国内のさまざまな場所にトラックで製品を輸送する一番安価 な方法を判断します。この典型的な問題は、従来からある Microsoft ソルバーの例を拡張したものです。 各工場の供給限度を超えずに各都市区域からの需要を満たす範囲で、 製造工場から都市部の需要中心地近辺の倉庫へ製品を輸送する費用を 最小化します。 問題をさらに現実的なものにするには、トラックの必要台数によって 配送費用が決まるように設定を変更できます。トラック 1 台で最大 6 つの製品を運送できるとすると、14 の製品を運ぶには 3 台のトラ ックが必要です (6 + 6 + 2 = 12)。 サンプル ファイル: ゴール: 解法: 類似問題: Transportation. xls 3 つの工場から 3 つの倉庫へ製品をトラックで 輸送する、最も安価な方法を判断する。 レシピ 通信ネットワークの設計。 第 4 章: 実用例 85 モデルの仕組み セル範囲 C5:E7 には各工場から各倉庫に配送する製品の数が含まれ ています。セル範囲 C13:E13 では、これらの製品の輸送に必要なト ラックの台数を計算します。以下のハード制限を設定します。1) 各 工場から発送する合計数が、各工場の在庫量を超えないこと、2) す べての工場から各倉庫へ発送する合計数が、各倉庫で必要な数と等し いかそれ以上であること。この制限により、各倉庫に必要数の製品が 配送されると同時に、工場の生産能力に負荷がかからないようにしま す。 0 ～ 500 の整数を使用して、レシピ解法をセル範囲 C5:E7 に適用し ます。一連のハード制限を各工場について入力し、その工場からの発 送数が工場の供給能力を超えないようにします。次に 2 番目のハー ド制限を各倉庫について入力し、その倉庫への配送合計数が倉庫の需 要を下回らないようにします。セル B22 の配送費用を最小化します。 解決方法 86 輸送費 第 5 章: Evolver リファレンス ガイド [モデルの定義] コマンド . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 調整可能セルの範囲 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 調整可能セル グループ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 レシピ解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 順序解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 グルーピング解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 予算解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 プロジェクト解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 スケジュール解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 交差と突然変異率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 タイム ブロックと制限セルの数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 直前のタスク . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 制限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 追加 - 制限の追加 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 シンプルな制限と数式による制限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 ソフト制限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 [最適化設定] コマンド . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 [最適化設定] コマンドの [最適化設定] コマンドの [最適化実行詳細] [最適化設定] コマンドの [最適化設定] コマンドの [一般] タブ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 114 115 117 118 [最適化の開始] コマンド . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 [ユーティリティ] コマンド . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 [アプリケーション設定] コマンド . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [. . . ] Decision Analysis for Petroleum Exploration: Petroleum Publishing Company, Tulsa, Okla. , 1975. Decision Analysis: Addison-Wesley, Reading, Mass. , 1968. 188 参考文献 シミュレーションとモンテカルロ抽出法に関する技 術文献 シミュレーション、抽出法、統計理論に関する詳細については、以下 の書籍や文献を参考にしてください。 • Iman, R. "A Distribution-Free Approach To Inducing Rank Correlation Among Input Variables": Commun. Computa. (1982) 11(3), 311-334 * Law, A. M. [. . . ]